1.2 几何光学¶
几何光学（Geometrical Optics）是光学系统设计的基础工具。它将光简化为沿直线传播的"光线"，忽略衍射和干涉等波动效应，专注于描述光在界面处的传播方向、成像位置与放大关系。当系统尺寸远大于光波长时，几何光学给出的结果足够准确，是工程设计的第一步分析手段。
一、几何光学的基本假设¶
几何光学建立在三条基本假设之上：
- 光线假设：光在均匀介质中沿直线传播，遇到界面时发生反射或折射。
- 独立传播假设：不同光线之间互不干扰，可以分别追迹后叠加。
- 近轴近似（小角度近似）：光线与光轴夹角很小时，$\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$，使公式大幅简化。
近轴近似是薄透镜公式、高斯成像等经典结论的前提。当光线偏离近轴区域时，就会出现像差（详见 1.6 成像与像差）。
二、两大基本定律¶
2.1 反射定律¶
光线在界面反射时，入射角等于反射角，且入射光线、反射光线与法线共面：
$$\theta_i = \theta_r$$
工程关联：平面镜、凹面镜、分光棱镜的设计均基于反射定律。反射镜在红外和紫外波段比透射元件更常用，因为没有材料透过率的限制。
2.2 折射定律（斯涅尔定律）¶
光线从折射率 $n_1$ 的介质进入折射率 $n_2$ 的介质时：
$$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$$
当 $n_1 > n_2$ 且入射角超过临界角时，发生全内反射（Total Internal Reflection），光纤传光正是利用这一原理。
工程关联：透镜的聚焦能力由折射率差和曲率半径共同决定。折射率随波长变化（色散）是产生色差的根源。
三、薄透镜与成像关系¶
3.1 薄透镜公式¶
对于焦距为 $f$ 的薄透镜，物距 $d_o$（物体到透镜的距离）与像距 $d_i$（像到透镜的距离）满足：
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$
| 参数 | 含义 | 符号约定 |
|---|---|---|
| $f$ | 焦距 | 凸透镜为正，凹透镜为负 |
| $d_o$ | 物距 | 物在透镜左侧时为正 |
| $d_i$ | 像距 | 像在透镜右侧（实像）为正 |
算例：$f = 50\ \text{mm}$，$d_o = 200\ \text{mm}$，则：
$$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{50} - \frac{1}{200} = \frac{3}{200} \Rightarrow d_i \approx 66.7\ \text{mm}$$
3.2 横向放大率¶
像的大小与物的大小之比称为横向放大率：
$$M = -\frac{d_i}{d_o}$$
负号表示实像倒立。$|M| > 1$ 为放大，$|M| < 1$ 为缩小。
3.3 成像的三种典型情况¶
| 物距条件 | 成像结果 | 典型应用 |
|---|---|---|
| $d_o > 2f$ | 缩小实像 | 相机镜头、遥感成像 |
| $d_o = 2f$ | 等大实像 | 1:1 复制系统 |
| $f < d_o < 2f$ | 放大实像 | 投影仪、显微镜物镜 |
| $d_o < f$ | 放大虚像 | 放大镜、目镜 |
四、关键系统参数¶
4.1 焦距与视场角¶
焦距 $f$ 决定了系统对视场角（FOV）的压缩比。对于探测器宽度为 $W$，焦距为 $f$ 的系统：
$$\text{FOV} \approx 2\arctan\left(\frac{W}{2f}\right)$$
焦距越短，视场越宽；焦距越长，视场越窄但放大倍率越高。
4.2 F 数（光圈数）¶
F 数（F/#）衡量透镜的集光能力：
$$F/# = \frac{f}{D}$$
其中 $D$ 为入射光瞳直径。F 数越小，集光能力越强，像面越亮，但景深越浅。
| F 数 | 特点 | 典型场景 |
|---|---|---|
| F/1 ～ F/2 | 大口径，集光强 | 弱光成像、天文观测 |
| F/2.8 ～ F/5.6 | 均衡 | 通用相机镜头 |
| F/8 ～ F/16 | 小口径，景深大 | 机器视觉、测量 |
4.3 数值孔径（NA）¶
显微镜领域常用数值孔径代替 F 数：
$$\text{NA} = n \sin\theta_{\max}$$
其中 $n$ 为物方介质折射率，$\theta_{\max}$ 为最大半角。NA 越大，分辨率越高，集光能力越强。
五、光线追迹简介¶
光线追迹（Ray Tracing）是通过逐面计算每条光线在每个界面上的折射/反射，追踪其到达像面的位置，从而评估系统成像质量的方法。
- 近轴光线追迹：基于小角度近似，用于快速估算焦距、放大率、成像位置。
- 精确光线追迹：不做小角度近似，计算实际光线路径，用于评估像差。
工程实践中，近轴追迹用于系统方案论证，精确追迹用于优化设计，最终由 Zemax、CODE V 等光学设计软件完成。
六、与其他专题的关系¶
几何光学是成像系统设计的起点，与后续专题的关系如下：
几何光学（本文）
├── 波动光学 ——— 几何光学的边界在此：衍射限分辨率
├── 傅里叶光学 ——— 用频域方法描述成像系统的传递特性（MTF）
├── 光学成像原理 ——— 将几何光学应用于完整成像链路分析
└── 成像与像差 ——— 真实系统偏离近轴理想的各类误差
参考资料¶
- Hecht, Optics (5th Edition), Pearson — 第 5、6 章系统讲解几何光学
- Smith, Modern Optical Engineering (4th Edition), McGraw-Hill — 工程向参考，含大量设计实例
- Zemax OpticStudio 官方文档 — 光线追迹软件参考手册
更新时间¶
2026-03-03